Упр.30.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)^2-1}$$.

Преобразуем общий член суммы:

$$\frac{1}{(k+1)^2-1}=\frac{1}{k^2+2k}=\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right).$$

Тогда

$$S=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)^2-1} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right).$$

Запишем несколько первых и последних слагаемых:

$$S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).$$

После сокращения остаётся:

$$S=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right).$$

Приведём к общему виду:

$$S=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right).$$

Можно также записать ответ в виде

$$S=\frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}.$$

Ответ

$$\frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}$$