Упр.30.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 30.9. Найдите сумму ?(k=1; n; 1/((k+1)^2-1).

Преобразуем общий член суммы:

$$ \frac{1}{(k+1)^2-1}=\frac{1}{k^2+2k}=\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right). $$

Тогда

$$ S=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)^2-1} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right). $$

Запишем несколько первых и последних слагаемых:

$$ S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right). $$

После сокращения остаётся:

$$ S=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right). $$

Приведём к общему виду:

$$ S=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right). $$

Можно также записать ответ в виде

$$ S=\frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}. $$

Ответ

$$ \frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)} $$