Упр.30.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 1/(2·7)+1/(7·12)+1/(12·17)+…+1/((5n-3)(5n+2));
2) 3/(1·2)+13/(2·3)+37/(3·4)+…+(n^3+n^2+1)/(n(n+1)).

1) Обозначим сумму через $$S$$:

$$ S=\frac{1}{2\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 12}+\frac{1}{12\cdot 17}+\cdots+\frac{1}{(5n-3)(5n+2)}. $$

Представим каждый дробный член в виде разности:

$$ \frac{1}{(5k-3)(5k+2)}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5k-3}-\frac{1}{5k+2}\right). $$

Тогда

$$ S=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{5n-3}-\frac{1}{5n+2}\right). $$

После сокращения получаем:

$$ S=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5n+2}\right) =\frac{1}{5}\cdot \frac{5n}{2(5n+2)} =\frac{n}{2(5n+2)}. $$

2) Обозначим сумму через $$S$$:

$$ S=\frac{3}{1\cdot 2}+\frac{13}{2\cdot 3}+\frac{37}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{n^3+n^2+1}{n(n+1)}. $$

Заметим, что

$$ \frac{k^3+k^2+1}{k(k+1)}=\frac{k^2(k+1)+1}{k(k+1)}=k+\frac{1}{k(k+1)}. $$

Но удобнее разложить так:

$$ \frac{k^3+k^2+1}{k(k+1)}=k+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}. $$

Тогда

$$ S=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(n+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right). $$

Складываем:

$$ S=(1+2+\cdots+n)+1-\frac{1}{n+1}. $$

Так как

$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, $$

то

$$ S=\frac{n(n+1)}{2}+1-\frac{1}{n+1} =\frac{n(n+1)^2+2(n+1)-2}{2(n+1)} =\frac{n(n^2+2n+3)}{2(n+1)}. $$

Ответ

1) $$\frac{n}{2(5n+2)}$$; 2) $$\frac{n(n^2+2n+3)}{2(n+1)}$$.