Упр.30.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 1/(1·5)+1/(5·9)+1/(9·13)+…+1/((4n-7)(4n-3));
2) 3/(1·2)+7/(2·3)+13/(3·4)+…+(n^2+n+1)/(n(n+1));
3) 1/2!+2/3!+3/4!+…+n/(n+1)!;
4) 3/4+5/36+7/144+…+(2n+1)/(n^2 (n+1)^2).

Подробный ответ

$$S=\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 13}+\dots+\frac{1}{(4n-7)(4n-3)}$$
Представим каждый дробный член в виде разности:
$$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}=\frac14\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k+1}\right)$$
Тогда
$$ S=\frac14\left(\frac11-\frac15+\frac15-\frac19+\frac19-\frac1{13}+\dots+\frac{1}{4n-7}-\frac{1}{4n-3}\right) $$
После сокращения получаем:
$$S=\frac14\left(1-\frac{1}{4n-3}\right)=\frac{n-1}{4n-3}$$
$$S=\frac{3}{1\cdot 2}+\frac{7}{2\cdot 3}+\frac{13}{3\cdot 4}+\dots+\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}$$
Преобразуем общий член:
$$\frac{k^2+k+1}{k(k+1)}=\frac{k^2+k}{k(k+1)}+\frac{1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k(k+1)}$$
Удобнее записать так:
$$\frac{k^2+k+1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}+\frac{k+1}{k}$$
Тогда сумма имеет вид:
$$ S=\left(\frac12+\frac11\right)+\left(\frac23+\frac12\right)+\left(\frac34+\frac23\right)+\dots+\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n}\right) $$
После сокращения получаем:
$$S=n+\frac{n}{n+1}=\frac{n(n+2)}{n+1}$$
$$S=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\dots+\frac{n}{(n+1)!}$$
Преобразуем общий член:
$$\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}$$
Тогда
$$ S=\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right) $$
Сумма телескопическая, поэтому
$$S=1-\frac{1}{(n+1)!}$$
$$S=\frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\frac{7}{144}+\dots+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$$
Заметим, что
$$\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}$$
Тогда
$$ S=\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right) $$
После сокращения получаем:
$$S=1-\frac{1}{(n+1)^2}$$