Упр.30.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что если последовательность $$(a_n)$$ — арифметическая прогрессия с положительными членами, то

$$\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}=\frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}.$$

Подробный ответ

Обозначим сумму через $$S$$:

$$S=\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}.$$

Так как $$\left(a_n\right)$$ — арифметическая прогрессия, то разность постоянна:

$$a_{k+1}-a_k=d.$$

Преобразуем общий член суммы:

$$\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}} =\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}})(\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k})} =\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{a_{k+1}-a_k} =\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{d}.$$

Тогда

$$S=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}+\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{d}+\cdots+\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}.$$

Сумма телескопическая, поэтому все промежуточные слагаемые сокращаются:

$$S=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}.$$

Так как $$a_{n+1}=a_1+nd$$, то

$$S=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}\cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1}} =\frac{a_{n+1}-a_1}{d\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}\right)}.$$

Подставим $$a_{n+1}-a_1=nd$$:

$$S=\frac{nd}{d\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}\right)} =\frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}.$$

Что и требовалось доказать.