Упр.30.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 9+99+999+…+99…9(n штук);
2) 5+55+555+…+55…5(n штук).

1) Пусть

$$S=9+99+999+\dots+ \underbrace{99\dots 9}_{n\text{ цифр}}.$$

Тогда каждый член суммы можно записать так:

$$9=9\cdot 1,\quad 99=9\cdot 11,\quad 999=9\cdot 111,\ \dots,\ \underbrace{99\dots 9}_{n\text{ цифр}}=9\cdot \underbrace{11\dots 1}_{n\text{ цифр}}.$$

Значит,

$$S=9\left(1+11+111+\dots+\underbrace{11\dots 1}_{n\text{ цифр}}\right).$$

Используем формулу

$$\underbrace{11\dots 1}_{k\text{ цифр}}=\frac{10^k-1}{9}.$$

Тогда

$$S=9\left(\frac{10-1}{9}+\frac{10^2-1}{9}+\frac{10^3-1}{9}+\dots+\frac{10^n-1}{9}\right).$$

Следовательно,

$$S=\left(10+10^2+10^3+\dots+10^n\right)-n.$$

Это сумма геометрической прогрессии:

$$10+10^2+\dots+10^n=\frac{10(10^n-1)}{10-1}=\frac{10(10^n-1)}{9}.$$

Значит,

$$S=\frac{10(10^n-1)}{9}-n.$$

2) Аналогично, пусть

$$S=5+55+555+\dots+\underbrace{55\dots 5}_{n\text{ цифр}}.$$

Тогда

$$S=5\left(1+11+111+\dots+\underbrace{11\dots 1}_{n\text{ цифр}}\right).$$

Подставим формулу для числа из единиц:

$$S=5\left(\frac{10-1}{9}+\frac{10^2-1}{9}+\frac{10^3-1}{9}+\dots+\frac{10^n-1}{9}\right).$$

Получаем

$$S=\frac{5}{9}\left(10+10^2+10^3+\dots+10^n-n\right).$$

Сумма геометрической прогрессии равна

$$10+10^2+\dots+10^n=\frac{10(10^n-1)}{9}.$$

Тогда

$$S=\frac{5}{9}\cdot \frac{10(10^n-1)}{9}-\frac{5n}{9}=\frac{50(10^n-1)}{81}-\frac{5n}{9}.$$

Ответ

1) $$\frac{10(10^n-1)}{9}-n$$

2) $$\frac{50(10^n-1)}{81}-\frac{5n}{9}$$