Упр.30.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 30.3. Найдите сумму ?(k=1; n; (5^k·k-1)/5^k).

Преобразуем общий член суммы:

$$\frac{5^k\cdot k-1}{5^k}=k-\frac{1}{5^k}.$$

Тогда

$$S=\sum_{k=1}^{n}\frac{5^k\cdot k-1}{5^k}=\sum_{k=1}^{n}\left(k-\frac{1}{5^k}\right)=\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{5^k}.$$

Первая сумма:

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Вторая сумма — геометрическая прогрессия:

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{5^k}=\frac{\frac15\left(1-\left(\frac15\right)^n\right)}{1-\frac15}=\frac{1-\frac{1}{5^n}}{4}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{1-\frac{1}{5^n}}{4}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac14+\frac{1}{4\cdot 5^n}.$$

Ответ

$$\frac{n(n+1)}{2}-\frac14+\frac{1}{4\cdot 5^n}$$