Упр.30.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 30.2. Найдите сумму 1·2+2·3+…+n(n+1).

Обозначим искомую сумму через $$S$$:

$$S=1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+n(n+1).$$

Заметим, что

$$k(k+1)=k^2+k.$$

Тогда

$$S=(1^2+1)+(2^2+2)+\dots+(n^2+n).$$

Сгруппируем слагаемые:

$$S=(1+2+\dots+n)+(1^2+2^2+\dots+n^2).$$

Используем формулы сумм:

$$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2},$$

$$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Тогда

$$ S=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

$$ S=\frac{3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)}{6} $$

$$ S=\frac{n(n+1)\bigl(3+2n+1\bigr)}{6} =\frac{n(n+1)(2n+4)}{6} =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}. $$

Ответ

$$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$