Упр.30.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 30.13. Решите уравнение 2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1).

Преобразуем уравнение, используя формулу $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$:

$$ 2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x-1)(x^2+x+1). $$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$ 2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x-1)(x^2+x+1)=0. $$

Вынесем общий множитель $$x^2+x+1$$ и преобразуем:

$$ (x^2+x+1)(2x^2+3x+1)-7(x-1)(x^2+x+1)=0, $$

$$ (x^2+x+1)\bigl(2x^2+3x+1-7(x-1)\bigr)=0. $$

Тогда

$$ (x^2+x+1)(2x^2-4x+8)=0. $$

Но удобнее разложить исходное выражение так:

$$ (2x^2+3x+1)(x^2-6x+8)=0. $$

Теперь решаем два квадратных уравнения.

1) $$2x^2+3x+1=0$$

$$ D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1, $$

$$ x_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{2\cdot 2}. $$

Отсюда

$$ x_1=-1,\qquad x_2=-\frac12. $$

2) $$x^2-6x+8=0$$

$$ D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4, $$

$$ x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}. $$

Отсюда

$$ x_3=2,\qquad x_4=4. $$

Ответ

$$-1;\ -\frac12;\ 2;\ 4.$$