Упр.30.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 30.12. При каких значениях параметра a уравнение (x^2-(2a+2)x+6a-3)/v(2+x-x^2) имеет единственное решение?

Чтобы уравнение

$$\frac{x^2-(2a+2)x+6a-3}{\sqrt{2+x-x^2}}=0$$

имело единственное решение, необходимо, чтобы числитель обращался в ноль, а знаменатель был определён и не равен нулю.

Рассмотрим уравнение числителя:

$$x^2-(2a+2)x+6a-3=0.$$

Найдём его корни:

$$D=(2a+2)^2-4(6a-3)=4a^2-16a+16=(2a-4)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2a+2\pm(2a-4)}{2},$$

откуда

$$x_1=3,\qquad x_2=2a-1.$$

Теперь найдём область определения знаменателя:

$$2+x-x^2>0,$$

$$x^2-x-2<0,$$

$$ (x+1)(x-2)<0,$$

$$-1<x<2.$$

Корень $$x_1=3$$ не подходит, так как не принадлежит области определения. Единственным решением будет только второй корень $$x_2=2a-1$$, если он лежит в промежутке $$(-1;2)$$:

$$-1<2a-1<2.$$

Решаем неравенство:

$$0<2a<3,$$

$$0<a<\frac{3}{2}.$$

Ответ

$$a\in\left(0;\frac{3}{2}\right).$$