Упр.30.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму $$S_n=1+2a+3a^2+4a^3+\dots+n\cdot a^{n-1}$$, где $$a\ne1$$.

Обозначим

$$S_n=1+2a+3a^2+4a^3+\dots+n a^{n-1}, \qquad a\ne 1.$$

Умножим сумму на $$a$$:

$$aS_n=a+2a^2+3a^3+\dots+n a^n.$$

Вычтем из $$aS_n$$ сумму $$S_n$$:

$$aS_n-S_n=(a+2a^2+3a^3+\dots+n a^n)-(1+2a+3a^2+\dots+n a^{n-1}).$$

После сокращения получаем:

$$(a-1)S_n=a^n+ a^n+\dots+a^n — (1+a+a^2+\dots+a^{n-1}).$$

Здесь $$a^n$$ повторяется $$n$$ раз, значит

$$(a-1)S_n=na^n-(1+a+a^2+\dots+a^{n-1}).$$

Сумма геометрической прогрессии равна

$$1+a+a^2+\dots+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}.$$

Тогда

$$(a-1)S_n=na^n-\frac{a^n-1}{a-1}.$$

Делим обе части на $$a-1$$:

$$S_n=\frac{na^n}{a-1}-\frac{a^n-1}{(a-1)^2}.$$

Ответ

$$S_n=\frac{na^n}{a-1}-\frac{a^n-1}{(a-1)^2}.$$