Упр.30.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму $$\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$.

Обозначим

$$S=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}.$$

Разложим общий член на разность дробей:

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac12\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right).$$

Тогда

$$S=\frac12\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}\right)+ \frac12\left(\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}\right)+\cdots+ \frac12\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$

При сложении все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся

$$S=\frac12\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$

Вычислим:

$$S=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) =\frac14-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S=\frac{(n+1)(n+2)-2}{4(n+1)(n+2)} =\frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} =\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$

Ответ

$$\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$$