Упр.30.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 2+10+30+…+n(n^2+1);
2) 1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2).

1) Пусть

$$S=2+10+30+\dots+n(n^2+1).$$

Заметим, что общий член можно записать так:

$$k(k^2+1)=k^3+k.$$

Тогда

$$ S=(1^3+1)+(2^3+2)+(3^3+3)+\dots+(n^3+n) $$

$$ S=(1+2+3+\dots+n)+(1^3+2^3+3^3+\dots+n^3). $$

Используем формулы:

$$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2},$$

$$1^3+2^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$

Тогда

$$ S=\frac{n(n+1)}{2}+\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 =\frac{2n(n+1)+n^2(n+1)^2}{4} $$

$$ S=\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}. $$

2) Пусть

$$S=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\dots+n(n+1)(n+2).$$

Общий член:

$$k(k+1)(k+2)=k^3+3k^2+2k.$$

Тогда

$$ S=(1^3+3\cdot1^2+2\cdot1)+(2^3+3\cdot2^2+2\cdot2)+\dots+(n^3+3n^2+2n) $$

$$ S=(1^3+2^3+\dots+n^3)+3(1^2+2^2+\dots+n^2)+2(1+2+\dots+n). $$

Подставим формулы сумм:

$$ S=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}. $$

Упростим:

$$ S=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+n(n+1) $$

$$ S=\frac{n(n+1)\bigl(n(n+1)+2(2n+1)+4\bigr)}{4} =\frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4} $$

$$ S=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}. $$

Ответ

1) $$\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$$

2) $$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$