Упр.3.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Одна из функций $$f$$ или $$g$$ чётная, другая — нечётная. Известно, что функция $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$ определена. Исследуйте на чётность функцию $$h$$.

Так как одна из функций $$f$$ или $$g$$ чётная, а другая нечётная, то при замене $$x$$ на $$-x$$ одна из них не меняется, а другая меняет знак.

Поскольку функция $$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$$ определена, её область определения симметрична относительно нуля: если $$x$$ принадлежит области определения, то и $$-x$$ тоже принадлежит ей.

Рассмотрим $$h(-x)$$:

$$h(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}.$$

Если $$f$$ — чётная, а $$g$$ — нечётная, то

$$f(-x)=f(x), \qquad g(-x)=-g(x),$$

значит

$$h(-x)=\frac{f(x)}{-g(x)}=-h(x).$$

Если же $$f$$ — нечётная, а $$g$$ — чётная, то

$$f(-x)=-f(x), \qquad g(-x)=g(x),$$

и тогда

$$h(-x)=\frac{-f(x)}{g(x)}=-h(x).$$

В обоих случаях получаем одно и то же: функция $$h$$ нечётная.

Ответ

Нечётная.