Упр.3.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 3.9. Одна из функций f или g чётная, другая — нечётная. Известно, что функция h(x)=f(x)/g(x) определена. Исследуйте на чётность функцию n.

Подробный ответ

Так как одна из функций $$f$$ или $$g$$ чётная, а другая нечётная, то при замене $$x$$ на $$-x$$ одна из них не меняется, а другая меняет знак.

Поскольку функция $$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$$ определена, её область определения симметрична относительно нуля: если $$x$$ принадлежит области определения, то и $$-x$$ тоже принадлежит ей.

Рассмотрим $$h(-x)$$:

$$ h(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}. $$

Если $$f$$ — чётная, а $$g$$ — нечётная, то

$$ f(-x)=f(x), \qquad g(-x)=-g(x), $$

значит

$$ h(-x)=\frac{f(x)}{-g(x)}=-h(x). $$

Если же $$f$$ — нечётная, а $$g$$ — чётная, то

$$ f(-x)=-f(x), \qquad g(-x)=g(x), $$

и тогда

$$ h(-x)=\frac{-f(x)}{g(x)}=-h(x). $$

В обоих случаях получаем одно и то же: функция $$h$$ нечётная.