Упр.3.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Чётные функции $$f$$ и $$g$$ таковы, что функция $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$ определена. Исследуйте на чётность функцию $$h$$.

Так как функции $$f$$ и $$g$$ чётные, то для любых допустимых значений $$x$$ выполняется:

$$f(-x)=f(x), \qquad g(-x)=g(x).$$

Рассмотрим функцию

$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Её область определения задаётся условиями:

$$D(h)=D(f)\cap D(g), \qquad g(x)\ne 0.$$

Поскольку области определения чётных функций симметричны относительно нуля, то вместе с каждым числом $$x$$ в области определения находится и число $$-x$$. Кроме того, если $$g(x)\ne 0$$, то

$$g(-x)=g(x)\ne 0.$$

Тогда

$$h(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{g(x)}=h(x).$$

Значит, функция $$h$$ чётная.

Ответ

$$h(x)$$ — чётная функция.