Упр.3.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Исследуйте на чётность функцию:

1. а) $$y=\frac{x-1}{x-1}$$; б) $$y=\frac{x^2-1}{x^2-1}$$; в) $$y=\sqrt{x^2-1}$$; г) $$y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$$; д) $$y=D(x)$$; е) $$y=xD(x)$$.

1. $$y=\frac{x-1}{x-1}$$

   Область определения: $$x-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne 1.$$

   Значит, $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$ Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

2. $$y=\frac{x^2-1}{x^2-1}$$

   Область определения: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$

   Тогда $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2-1}{x^2-1}=y(x).$$

   Функция чётная.

3. $$y=\sqrt{x^2-1}$$

   Область определения: $$x^2-1\ge 0,$$ то есть $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$

   Следовательно, $$D(y)=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}=\sqrt{x^2-1}=y(x).$$

   Функция чётная.

4. $$y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$$

   Для существования корней нужно:

   $$x-1\ge 0,\qquad x+1\ge 0.$$

   Отсюда $$x\ge 1,$$ значит, $$D(y)=[1;+\infty).$$

   Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

5. $$y=D(x)$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим:

   $$y(-x)=D(-x)=D(x)=y(x).$$

   Функция чётная.

6. $$y=xD(x)$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим:

   $$y(-x)=(-x)D(-x)=-xD(x)=-y(x).$$

   Функция нечётная.

Ответ

1) ни чётная, ни нечётная; 2) чётная; 3) чётная; 4) ни чётная, ни нечётная; 5) чётная; 6) нечётная.