Упр.3.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
- Исследуйте на чётность функцию:
1) $$g(x)=x^n$$, где $$n\in\mathbb{N}$$ и $$n$$ — нечётное;
2) $$g(x)=\frac{|x|}{x}$$;
3) $$f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$$;
4) $$g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}$$;
5) $$f(x)=\frac{|5x-2|+|5x+2|}{x^2-1}$$;
6) $$f(x)=(x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|$$.
$$g(x)=x^n,\quad n\in \mathbb{N},\ n\text{ — нечётное}.$$
Область определения: $$D(g)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$g(-x)=(-x)^n=-x^n=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$g(x)=\frac{|x|}{x}.$$
Область определения: $$D(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим:
$$g(-x)=\frac{|-x|}{-x}=\frac{|x|}{-x}=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}.$$
Область определения:
$$4-x\ge 0 \Rightarrow x\le 4,$$
$$4+x\ge 0 \Rightarrow x\ge -4,$$
значит, $$D(f)=[-4;4].$$
Проверим:
$$f(-x)=\sqrt{4-(-x)}+\sqrt{4+(-x)}=\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}.$$
Область определения:
$$3-x\ge 0 \Rightarrow x\le 3,$$
$$3+x\ge 0 \Rightarrow x\ge -3,$$
$$\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}\ne 0 \Rightarrow x\ne 0.$$
Значит, $$D(g)=[-3;0)\cup(0;3].$$
Проверим:
$$g(-x)=\frac{(-x)^2}{\sqrt{3-(-x)}-\sqrt{3+(-x)}}=\frac{x^2}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{|5x-2|+|5x+2|}{x^2-1}.$$
Область определения:
$$x^2-1\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm 1,$$
то есть $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=\frac{|5(-x)-2|+|5(-x)+2|}{(-x)^2-1}=\frac{|-5x-2|+|-5x+2|}{x^2-1}.$$
Так как $$|-5x-2|=|5x+2|,\quad |-5x+2|=|5x-2|,$$ то
$$f(-x)=\frac{|5x+2|+|5x-2|}{x^2-1}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=(x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|.$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=(-x+2)|-x-4|-(-x-2)|-x+4|.$$
Так как $$|-x-4|=|x+4|,\quad |-x+4|=|x-4|,$$ получаем
$$f(-x)=(2-x)|x+4|+(x+2)|x-4|=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
Ответ
1) нечётная; 2) нечётная; 3) чётная; 4) нечётная; 5) чётная; 6) чётная.
