Упр.3.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x)=171;
2) f(x)=x^n, где n?N и n — чётное;
3) f(x)=-3x^2+|x|-1;
4) f(x)=v(x^2-3x+5)+v(x^2+3x+5);
5) f(x)=x^3/(v(1-x)-v(x+1));
6) g(x)=(3x+2)/(x^2-x+1)+(3x-2)/(x^2+x+1).

Подробный ответ

$$f(x)=171.$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=171=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=x^n,\quad n\in \mathbb{N},\ n\text{ — чётное}.$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=(-x)^n=x^n=f(x),$$
так как степень $$n$$ чётная. Значит, функция чётная.
$$f(x)=-3x^2+|x|-1.$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=-3(-x)^2+|-x|-1=-3x^2+|x|-1=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}+\sqrt{x^2+3x+5}.$$
Подкоренные выражения всегда положительны, так как
$$x^2-3x+5=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}>0,$$
$$x^2+3x+5=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}>0.$$
Значит, $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=\sqrt{(-x)^2-3(-x)+5}+\sqrt{(-x)^2+3(-x)+5}$$
$$=\sqrt{x^2+3x+5}+\sqrt{x^2-3x+5}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}.$$
Найдём область определения:
$$1-x\ge 0 \Rightarrow x\le 1,$$
$$x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1,$$
$$\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}\ne 0.$$
Равенство нулю возможно только при $$x=0,$$ поэтому
$$D(f)=[-1;0)\cup(0;1].$$
Проверим:
$$f(-x)=\frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)}-\sqrt{(-x)+1}}=\frac{-x^3}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}.$$
Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:
$$f(-x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}.$$
Область определения: знаменатели не обращаются в нуль, так как
$$x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0,$$
$$x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0.$$
Значит, $$D(g)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим:
$$g(-x)=\frac{-3x+2}{x^2+x+1}+\frac{-3x-2}{x^2-x+1}.$$
Приведём к виду:
$$g(-x)=-\frac{3x-2}{x^2+x+1}-\frac{3x+2}{x^2-x+1}=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.