Упр.3.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении $$(1-x+x^2-x^3+\dots+x^{20})(1+x+x^2+\dots+x^{20})$$ получили многочлен. Докажите, что этот многочлен не содержит одночленов нечётной степени.

Обозначим данный многочлен через $$f(x)=(1-x+x^2-x^3+\dots+x^{20})(1+x+x^2+\dots+x^{20}).$$

Проверим его чётность:

$$f(-x)=(1+x+x^2+x^3+\dots+x^{20})(1-x+x^2-x^3+\dots+x^{20}).$$

Перемножение множителей не меняется при перестановке сомножителей, значит

$$f(-x)=f(x).$$

Следовательно, многочлен $$f(x)$$ — чётный. А у чётного многочлена все одночлены имеют чётную степень, поэтому одночленов нечётной степени в нём нет.

Ответ

Многочлен не содержит одночленов нечётной степени.