Упр.3.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 3.23. При каких значениях параметра а уравнение ax^6+1=a^2v(1-|x|) имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$ax^6+1=a^2\sqrt{1-|x|}.$$

Перенесём всё в одну часть:

$$f(x)=ax^6+1-a^2\sqrt{1-|x|}.$$

Функция $f(x)$ чётная, так как

$$f(-x)=a(-x)^6+1-a^2\sqrt{1-|-x|}=ax^6+1-a^2\sqrt{1-|x|}=f(x).$$

Значит, если уравнение имеет единственный корень, то этот корень может быть только $x=0$.

Подставим $x=0$ в уравнение:

$$a\cdot 0^6+1=a^2\sqrt{1-|0|}.$$

Получаем

$$1=a^2,$$

откуда

$$a=\pm 1.$$

Проверим эти значения.

1) При $a=-1$ имеем

$$-x^6+1=\sqrt{1-|x|}.$$

Кроме $x=0$, подходят ещё $x=\pm 1$, значит корень не единственный.

2) При $a=1$ имеем

$$x^6+1=\sqrt{1-|x|}.$$

Для $x\ne 0$ левая часть больше или равна $1$, а правая часть не превосходит $1$, поэтому равенство возможно только при $x=0$.

Следовательно, единственный корень существует только при $a=1$.

Ответ

$$a=1.$$