Упр.3.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$ax^6+1=a^2v(1-|x|)$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$ax^6+1=a^2\sqrt{1-|x|}.$$

Перенесём всё в одну часть:

$$f(x)=ax^6+1-a^2\sqrt{1-|x|}.$$

Функция $$f(x)$$ чётная, так как

$$f(-x)=a(-x)^6+1-a^2\sqrt{1-|-x|}=ax^6+1-a^2\sqrt{1-|x|}=f(x).$$

Значит, если уравнение имеет единственный корень, то этот корень может быть только $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$ в уравнение:

$$a\cdot 0^6+1=a^2\sqrt{1-|0|}.$$

Получаем

$$1=a^2,$$

откуда

$$a=\pm 1.$$

Проверим эти значения.

1) При $$a=-1$$ имеем

$$-x^6+1=\sqrt{1-|x|}.$$

Кроме $$x=0$$, подходят ещё $$x=\pm 1$$, значит корень не единственный.

2) При $$a=1$$ имеем

$$x^6+1=\sqrt{1-|x|}.$$

Для $$x\ne 0$$ левая часть больше или равна $$1$$, а правая часть не превосходит $$1$$, поэтому равенство возможно только при $$x=0$$.

Следовательно, единственный корень существует только при $$a=1$$.

Ответ

$$a=1.$$