Упр.3.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых функция $$y=(x-1)^4+a(x+1)^4$$ является: 1) чётной; 2) нечётной.

1) Чтобы функция была чётной, должно выполняться равенство $$y(-x)=y(x).$$

Для данной функции:

$$(-x-1)^4+a(-x+1)^4=(x-1)^4+a(x+1)^4.$$

Так как $$(-x-1)^4=(x+1)^4$$ и $$(-x+1)^4=(x-1)^4,$$ получаем:

$$(x+1)^4+a(x-1)^4=(x-1)^4+a(x+1)^4.$$

Перенесём слагаемые:

$$a\big((x-1)^4-(x+1)^4\big)=(x-1)^4-(x+1)^4.$$

Отсюда

$$a=1.$$

2) Чтобы функция была нечётной, должно выполняться равенство $$y(-x)=-y(x).$$

Тогда

$$(-x-1)^4+a(-x+1)^4=-(x-1)^4-a(x+1)^4.$$

С учётом тех же равенств получаем:

$$(x+1)^4+a(x-1)^4=-(x-1)^4-a(x+1)^4.$$

Перенесём слагаемые:

$$a\big((x-1)^4+(x+1)^4\big)=-\big((x-1)^4+(x+1)^4\big).$$

Следовательно,

$$a=-1.$$

Ответ

1) $$a=1$$; 2) $$a=-1$$.