Упр.3.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Нечётная функция $$f$$, определённая на $$\mathbb{R}$$, возрастает на промежутке $$[0; +\infty)$$. Определите, возрастающей или убывающей является функция $$f$$ на промежутке $$(-\infty; 0]$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — любые числа такие, что $$x_2 < x_1 \le 0$$. Тогда их противоположные числа удовлетворяют неравенству

$$-x_2 > -x_1 \ge 0.$$

Так как функция $$f$$ нечётная, то

$$f(-x_1)=-f(x_1), \qquad f(-x_2)=-f(x_2).$$

Поскольку на промежутке $$[0; +\infty)$$ функция возрастает, из $$-x_2 > -x_1$$ следует

$$f(-x_2) > f(-x_1).$$

Тогда

$$-f(x_2) > -f(x_1),$$

откуда

$$f(x_2) < f(x_1).$$

Значит, на промежутке $$(-\infty; 0]$$ функция $$f$$ тоже возрастает.

Ответ

Возрастает.