Упр.3.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 3.16. Исследуйте на чётность функцию f(n)=(v2+1)^n-(v2-1)^n, D(f)=Z.

Область определения функции $$D(f)=\mathbb{Z}$$ симметрична относительно нуля, поэтому исследуем значение функции при $$-n$$:

$$ f(-n)=(\sqrt{2}+1)^{-n}-(\sqrt{2}-1)^{-n} $$
$$ f(-n)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^n-\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^n $$

Рационализуем знаменатели:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,\qquad \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1 $$

Тогда

$$ f(-n)=(\sqrt{2}-1)^n-(\sqrt{2}+1)^n=-\bigl((\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n\bigr)=-f(n) $$

Следовательно, функция нечётная.

Ответ

Нечётная.