Упр.3.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Исследуйте на чётность функцию $$f(n)=(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n,\quad D(f)=\mathbb{Z}.$$

Область определения функции $$D(f)=\mathbb{Z}$$ симметрична относительно нуля, поэтому исследуем значение функции при $$-n$$:

$$f(-n)=(\sqrt{2}+1)^{-n}-(\sqrt{2}-1)^{-n}$$
$$f(-n)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^n-\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^n$$

Рационализуем знаменатели:

$$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,\qquad \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$$

Тогда

$$f(-n)=(\sqrt{2}-1)^n-(\sqrt{2}+1)^n=-\bigl((\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n\bigr)=-f(n)$$

Следовательно, функция нечётная.

Ответ

Нечётная.