Упр.3.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 3.15. Исследуйте на чётность функцию f(n)=(2+v3)^n+(2-v3)^n, D(f)=Z.

Проверим, является ли функция чётной. Область определения $$D(f)=\mathbb{Z}$$ симметрична относительно нуля, значит, можно сравнить $$f(-n)$$ и $$f(n)$$.

$$ f(-n)=(2+\sqrt{3})^{-n}+(2-\sqrt{3})^{-n} $$
$$ =\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^n+\left(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\right)^n $$

Рационализуем знаменатели:

$$ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}, $$
$$ \frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}. $$

Тогда

$$ f(-n)=(2-\sqrt{3})^n+(2+\sqrt{3})^n=f(n). $$

Следовательно, функция чётная.

Ответ

Чётная.