Упр.29.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) b_2=54, b_5=2; 2) b_2-b_4=48, b_1-b_3=240.

1) Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_5=b_1q^4.$$

Из условия:

$$b_2=54,\qquad b_5=2.$$

Найдём $$q$$:

$$\frac{b_5}{b_2}=\frac{b_1q^4}{b_1q}=q^3,$$
$$q^3=\frac{2}{54}=\frac{1}{27},$$
$$q=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{54}{1/3}=162.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{162}{1-\frac13}=\frac{162}{\frac23}=243.$$

2) Пусть снова $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель прогрессии. Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2,\qquad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_2-b_4=48,\qquad b_1-b_3=240.$$

Запишем уравнения:

$$b_1q-b_1q^3=48,$$
$$b_1-b_1q^2=240.$$

Вынесем общий множитель:

$$b_1q(1-q^2)=48,$$
$$b_1(1-q^2)=240.$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$q=\frac{48}{240}=\frac15.$$

Теперь найдём $$b_1$$:

$$b_1(1-q^2)=240,$$
$$b_1\left(1-\frac{1}{25}\right)=240,$$
$$b_1\cdot \frac{24}{25}=240,$$
$$b_1=240\cdot \frac{25}{24}=250.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{250}{1-\frac15}=\frac{250}{\frac45}=312{,}5.$$

Ответ

1) $$243$$; 2) $$312{,}5$$.