Упр.29.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
   1) $$b_3=4,\ b_5=2$$;
   2) $$b_1+b_3=20,\ b_2+b_4=\frac{20}{3}$$.

1. Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии.

   Так как $$b_5=b_3q^2$$, то

   $$4q^2=2,$$

   $$q^2=\frac12,$$

   $$q=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

   Найдём первый член:

   $$b_3=b_1q^2,$$

   $$b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{4}{1/2}=8.$$

   Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

   При $$q=\frac{\sqrt2}{2}$$ получаем

   $$S=\frac{8}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{16}{2-\sqrt2}=8(2+\sqrt2)=16+8\sqrt2.$$

   При $$q=-\frac{\sqrt2}{2}$$ получаем

   $$S=\frac{8}{1+\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{16}{2+\sqrt2}=8(2-\sqrt2)=16-8\sqrt2.$$

2. Из условий имеем:

   $$b_1+b_3=20,$$

   $$b_2+b_4=\frac{20}{3}.$$

   Так как $$b_3=b_1q^2,$$ $$b_2=b_1q,$$ $$b_4=b_1q^3,$$ то

   $$b_1(1+q^2)=20,$$

   $$b_1q(1+q^2)=\frac{20}{3}.$$

   Делим второе уравнение на первое:

   $$q=\frac{1}{3}.$$

   Тогда

   $$b_1\left(1+\frac{1}{9}\right)=20,$$

   $$b_1\cdot \frac{10}{9}=20,$$

   $$b_1=18.$$

   Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac13}=\frac{18}{\frac23}=27.$$

Ответ

1) $$16-8\sqrt2$$; $$16+8\sqrt2$$; 2) $$27$$.