Упр.29.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 0,1111…; 3) 0,416416416…; 5) 1,181818…;
2) 0,(5); 4) 0,2666…; 6) 2,3(36).

1. $$0,1111\ldots = 0,1+0,01+0,001+\ldots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,1$$, $$q=0,1$$.

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,1}{1-0,1}=\frac{0,1}{0,9}=\frac{1}{9}$$

2. $$0,(5)=0,5+0,05+0,005+\ldots$$

   $$b_1=0,5,\quad q=0,1$$

   $$S=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}$$

3. $$0,416416416\ldots = 0,416+0,000416+0,000000416+\ldots$$

   $$b_1=0,416,\quad q=0,001$$

   $$S=\frac{0,416}{1-0,001}=\frac{0,416}{0,999}=\frac{416}{999}$$

4. $$0,2666\ldots = 0,2+0,06+0,006+\ldots$$

   $$0,2=\frac{1}{5},\quad 0,06+0,006+0,0006+\ldots$$

   Для суммы хвоста: $$b_1=0,06,\quad q=0,1$$

   $$S=\frac{0,06}{1-0,1}=\frac{0,06}{0,9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$$

   Тогда

   $$0,2666\ldots=\frac{1}{5}+\frac{1}{15}=\frac{4}{15}$$

5. $$1,181818\ldots = 1+0,18+0,0018+0,000018+\ldots$$

   $$b_1=0,18,\quad q=0,01$$

   $$S=\frac{0,18}{1-0,01}=\frac{0,18}{0,99}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}$$

   Тогда

   $$1,181818\ldots = 1+\frac{2}{11}=\frac{13}{11}$$

6. $$2,3(36)=2,3+0,036+0,00036+0,0000036+\ldots$$

   $$2,3=\frac{23}{10},\quad b_1=0,036,\quad q=0,01$$

   $$S=\frac{0,036}{1-0,01}=\frac{0,036}{0,99}=\frac{36}{990}=\frac{4}{110}=\frac{2}{55}$$

   Тогда

   $$2,3(36)=\frac{23}{10}+\frac{2}{55}=\frac{253}{110}+\frac{4}{110}=\frac{257}{110}$$

Ответ

$$\frac{1}{9};\ \frac{5}{9};\ \frac{416}{999};\ \frac{4}{15};\ \frac{13}{11};\ \frac{257}{110}$$