Упр.29.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений
$$\begin{cases} x^2+(y-2)^2=1,\\ y=|x|+a \end{cases}$$ имеет три решения?

Рассмотрим окружность $$x^2+(y-2)^2=1$$ и график функции $$y=|x|+a.$$

Окружность имеет центр $$O(0;2)$$ и радиус $$1.$$ График $$y=|x|+a$$ — это V-образная линия, полученная сдвигом графика $$y=|x|$$ вверх на $$a$$ единиц.

Чтобы система имела три решения, прямая часть графика должна касаться окружности в одной точке, а вторая часть — пересекать её в двух точках.

Такое положение получается, когда вершина графика $$y=|x|+a$$ лежит на окружности:

$$(0)^2+(a-2)^2=1$$
$$(a-2)^2=1$$
$$a-2=\pm 1$$
$$a=1 \text{ или } a=3$$

Проверим: при $$a=3$$ вершина графика находится выше окружности, и пересечений будет не три. При $$a=1$$ вершина лежит в нижней точке окружности, и получается ровно три точки пересечения.

Значит, подходит только значение $$a=1.$$

Ответ

$$a=1$$