Упр.29.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.23. Постройте график функции y=vx+vx/(1+vx)+vx/(1+vx)^2+…, где x > 0.

Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$$y=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}+\cdots,\quad x>0.$$

Первый член прогрессии:

$$b_1=\sqrt{x}.$$

Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{1+\sqrt{x}}.$$

Так как $$x>0,$$ то $$\sqrt{x}>0,$$ значит

$$|q|=\frac{1}{1+\sqrt{x}}<1.$$

Следовательно, сумма бесконечной геометрической прогрессии существует и равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt{x}}{1-\frac{1}{1+\sqrt{x}}}.$$

Упростим:

$$ S=\frac{\sqrt{x}}{\frac{1+\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}}} =\frac{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}} =1+\sqrt{x}. $$

Значит, заданная функция имеет вид

$$y=\sqrt{x}+1,\quad x>0.$$

Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый вверх на 1 единицу. Так как $$x>0,$$ точка $$\left(0;1\right)$$ не входит в график, поэтому на координатной плоскости изображается луч, начинающийся справа от этой точки.

Ответ

$$y=\sqrt{x}+1,\quad x>0.$$