Упр.29.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.22. Постройте график функции y=x^2+x^2/(1+x^2)+x^2/(1+x^2)^2+…, где x?0.

Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$$y=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+\cdots,\quad x\ne 0.$$

Первый член прогрессии:

$$b_1=x^2.$$

Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{x^2}=\frac{1}{1+x^2}.$$

Так как при $x\ne 0$ имеем

$$|q|=\frac{1}{1+x^2}<1,$$

то сумма бесконечной геометрической прогрессии существует и равна

$$ y=\frac{b_1}{1-q} =\frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} =\frac{x^2}{\frac{x^2}{1+x^2}} =1+x^2. $$

Следовательно, график данной функции совпадает с графиком параболы

$$y=x^2+1,$$

но точка при $x=0$ не входит в область определения исходной функции, поэтому на графике нужно выколоть точку $(0;1)$.

Ответ

График функции — парабола $$y=x^2+1$$ с выколотой точкой $$\left(0;1\right).$$