Упр.29.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.21. В квадрат со стороной a вписана окружность, в окружность вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность, в которую снова вписан квадрат, и т. д. Найдите сумму: 1) периметров всех построенных квадратов; 2) площадей построенных квадратов; 3) длин окружностей; 4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Обозначим сторону первого квадрата через $$a.$$ Тогда сторона каждого следующего квадрата уменьшается в $$\sqrt{2}$$ раз, так как квадрат, вписанный в окружность, имеет диагональ, равную диаметру окружности.

Следовательно, для сторон квадратов получаем геометрическую прогрессию:

$$a_1=a,\qquad q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Периметры квадратов также образуют геометрическую прогрессию:

$$b_1=4a,\qquad q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Тогда сумма периметров всех квадратов:

$$ S_b=\frac{b_1}{1-q} =\frac{4a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} =4a(2+\sqrt{2}). $$

Площади квадратов образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$a^2$$ и знаменателем $$\frac12$$:

$$ S_c=\frac{a^2}{1-\frac12}=2a^2. $$

Для окружностей радиусы уменьшаются в $$\sqrt{2}$$ раз, значит длины окружностей тоже образуют геометрическую прогрессию:

$$ b_1=\pi a,\qquad q=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$

Тогда сумма длин всех окружностей:

$$ S_l=\frac{\pi a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} =\pi a(2+\sqrt{2}). $$

Площади кругов образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$\frac{\pi a^2}{4}$$ и знаменателем $$\frac12$$:

$$ S_k=\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1-\frac12} =\frac{\pi a^2}{2}. $$

Ответ

$$1)\ 4a(2+\sqrt{2});\quad 2)\ 2a^2;\quad 3)\ \pi a(2+\sqrt{2});\quad 4)\ \frac{\pi a^2}{2}.$$