Упр.29.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.20. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан правильный треугольник и т. д. Найдите сумму: 1) периметров всех построенных треугольников; 2) площадей построенных треугольников; 3) длин окружностей; 4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Обозначим сторону первого треугольника через $$a_1.$$ Для правильного треугольника радиусы описанной и вписанной окружностей выражаются так:

$$R=\frac{a_1\sqrt{3}}{3}, \qquad r=\frac{a_1\sqrt{3}}{6}.$$

Так как в окружность радиуса $$R$$ вписан правильный треугольник, то

$$a_1=\frac{3R}{\sqrt{3}}=R\sqrt{3}.$$

У следующего треугольника сторона в 2 раза меньше, значит для всех треугольников получается геометрическая прогрессия со знаменателем

$$q=\frac{1}{2}.$$

1) Сумма периметров всех треугольников

Первый периметр:

$$P_1=3a_1=3R\sqrt{3}.$$

Тогда сумма периметров:

$$S_P=\frac{P_1}{1-q}=\frac{3R\sqrt{3}}{1-\frac12}=6R\sqrt{3}.$$

2) Сумма площадей всех треугольников

Площадь первого треугольника:

$$S_1=\frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}.$$

Знаменатель прогрессии площадей:

$$q_S=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Тогда

$$S_{\triangle}=\frac{S_1}{1-q_S}=\frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{1-\frac14}=R^2\sqrt{3}.$$

3) Сумма длин всех окружностей

Длина первой окружности:

$$L_1=2\pi R.$$

Так как радиусы уменьшаются в 2 раза, то и длины окружностей образуют геометрическую прогрессию с знаменателем

$$q=\frac12.$$

Следовательно,

$$S_L=\frac{2\pi R}{1-\frac12}=4\pi R.$$

4) Сумма площадей всех кругов

Площадь первого круга:

$$A_1=\pi R^2.$$

Знаменатель прогрессии площадей:

$$q_A=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Тогда

$$S_A=\frac{\pi R^2}{1-\frac14}=\frac{4}{3}\pi R^2.$$

Ответ

$$1)\ 6R\sqrt{3}; \quad 2)\ R^2\sqrt{3}; \quad 3)\ 4\pi R; \quad 4)\ \frac{4}{3}\pi R^2.$$