Упр.29.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) v(3/2), 1, v(2/3), …; 2) (v2+1)/(v2-1), 1/(2-v2), 1/2, … .

1. Для бесконечной геометрической прогрессии сумма существует, если $$|q|<1$$, и тогда
   $$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}.$$

2. 1) $$\sqrt{\frac{3}{2}},\ 1,\ \sqrt{\frac{2}{3}},\ldots$$

   Найдём знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

   Тогда

   $$S_\infty=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1-\sqrt{\frac{2}{3}}}.$$

   Упростим:

   $$S_\infty=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}\left(1+\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}{1-\frac{2}{3}} =3\sqrt{\frac{3}{2}}\left(1+\sqrt{\frac{2}{3}}\right).$$

   Так как $$\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=1,$$ получаем

   $$S_\infty=3\sqrt{\frac{3}{2}}+3.$$

3. 2) $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ \frac{1}{2-\sqrt{2}},\ \frac12,\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}.$$

   Преобразуем первый член:

   $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt{2}.$$

   А второй:

   $$\frac{1}{2-\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$q=\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{3+2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}.$$

   Сумма бесконечной прогрессии:

   $$S_\infty=\frac{3+2\sqrt{2}}{1-\frac{\sqrt{2}-1}{2}} =\frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{3-\sqrt{2}}{2}} =\frac{2(3+2\sqrt{2})}{3-\sqrt{2}}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$S_\infty=\frac{2(3+2\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}{9-2} =\frac{2(13+9\sqrt{2})}{7} =\frac{26+18\sqrt{2}}{7}.$$

Ответ

1) $$3+3\sqrt{\frac{3}{2}}$$; 2) $$\frac{26+18\sqrt{2}}{7}$$.