Упр.29.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.19. Геометрическая фигура составлена из бесконечной последовательности равносторонних треугольников, расположенных так, как показано на рисунке 29.4. Площадь каждого следующего треугольника в два раза меньше площади предыдущего. Сторона первого треугольника равна 4 см. Поместится ли такая геометрическая фигура на листе вашей тетради?

Подробный ответ

Пусть сторона первого треугольника равна $$a_1=4\text{ см}.$$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $$a$$ равна

$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Так как площадь каждого следующего треугольника в 2 раза меньше предыдущего, то и его сторона уменьшается в $$\sqrt{2}$$ раза:

$$a_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{2}}.$$

Значит, длины оснований треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$4$$ и знаменателем $$q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Найдём сумму всех оснований:

$$ S=4+\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{4}{2}+\frac{4}{2\sqrt{2}}+\cdots $$

Это сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} =4\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) =8+4\sqrt{2}. $$

Приближённо: