Упр.29.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.18. В квадрат со стороной a вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого квадрата, во второй квадрат вписан третий, вершинами которого являются середины сторон второго, и т. д. (рис. 29.3). Найдите сумму площадей всех построенных квадратов.

Пусть сторона первого квадрата равна $$a.$$ Тогда его площадь

$$S_1=a^2.$$

В квадрат, вершинами которого являются середины сторон предыдущего квадрата, сторона уменьшается в $$\sqrt{2}$$ раза, значит площадь каждого следующего квадрата в $$2$$ раза меньше площади предыдущего:

$$S_2=\frac{a^2}{2}, \quad S_3=\frac{a^2}{4}, \quad \ldots$$

Получаем бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $$a^2$$ и знаменателем $$q=\frac12.$$ Тогда сумма всех площадей равна

$$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac12}=\frac{a^2}{\frac12}=2a^2.$$

Ответ

$$2a^2$$