Упр.29.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.17. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

По условию сумма двух первых членов в 8 раз больше суммы остальных членов:

$$b_1+b_2=8(S-b_1-b_2).$$

Так как $$b_2=b_1q$$, получаем:

$$b_1+b_1q=8\left(\frac{b_1}{1-q}-b_1-b_1q\right).$$

Упростим:

$$b_1+b_1q=\frac{8b_1}{1-q}-8b_1-8b_1q.$$

Так как $$b_1\neq 0$$, разделим обе части на $$b_1$$:

$$1+q=\frac{8}{1-q}-8-8q.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$9+9q=\frac{8}{1-q}.$$

Умножим на $$1-q$$:

$$9(1+q)(1-q)=8.$$

$$9(1-q^2)=8.$$

$$9-9q^2=8.$$

$$9q^2=1.$$

$$q^2=\frac{1}{9}.$$

Следовательно,

$$q=\pm \frac{1}{3}.$$

Оба значения удовлетворяют условию $$|q|<1$$.

Ответ

$$-\frac{1}{3};\ \frac{1}{3}$$