Упр.29.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой в 1,5 раза больше суммы остальных её членов.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда сумма всех членов бесконечной геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

По условию первый член в $$1{,}5$$ раза больше суммы остальных членов, то есть

$$b_1=1{,}5(S-b_1).$$

Подставим формулу суммы:

$$b_1=1{,}5\left(\frac{b_1}{1-q}-b_1\right).$$

Упростим:

$$b_1=\frac{1{,}5b_1}{1-q}-1{,}5b_1.$$

Перенесём слагаемые и разделим на $$b_1$$:

$$2{,}5b_1=\frac{1{,}5b_1}{1-q}$$

$$2{,}5=\frac{1{,}5}{1-q}.$$

Умножим обе части на $$1-q$$:

$$2{,}5(1-q)=1{,}5.$$

Умножим на $$2$$:

$$5(1-q)=3.$$

$$5-5q=3.$$

$$5q=2.$$

$$q=\frac{2}{5}.$$

Ответ

$$\frac{2}{5}$$