Упр.29.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.15. Решите уравнение 1-x^2+x^4-…=16/17, если |x| < 1.

Данное выражение является суммой бесконечной геометрической прогрессии:

$$1-x^2+x^4-\dots$$

Здесь

$$b_1=1,\quad q=-x^2.$$

Так как $$|x|<1,$$ то $$|q|=|x^2|<1,$$ и сумма прогрессии существует:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}.$$

По условию:

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{16}{17}.$$

Решим уравнение:

$$ 17=16(1+x^2) \\ 17=16+16x^2 \\ 16x^2=1 \\ x^2=\frac{1}{16} \\ x=\pm \frac{1}{4}. $$

Оба значения удовлетворяют условию $$|x|<1.$$

Ответ

$$x=-\frac{1}{4},\ \frac{1}{4}.$$