Упр.29.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$1+x+x^2+\ldots=4$$, если $$|x|<1$$; 2) $$1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\ldots=1,5$$, если $$|x|>1$$.

1. Последовательность $$1+x+x^2+\dots$$ — это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=x$$, где $$|x|<1$$.

   Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}$$

   Тогда

   $$\frac{1}{1-x}=4$$

   $$1=4(1-x)$$

   $$1=4-4x$$

   $$4x=3$$

   $$x=\frac{3}{4}$$

2. Последовательность $$1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\dots$$ — это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=-\frac{1}{x}$$, где $$|x|>1$$.

   Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}$$

   Тогда

   $$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1{,}5$$

   $$1=1{,}5\left(1+\frac{1}{x}\right)$$

   $$1=\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)$$

   $$2=3\left(1+\frac{1}{x}\right)$$

   $$2=3+\frac{3}{x}$$

   $$-1=\frac{3}{x}$$

   $$x=-3$$

Ответ

1) $$\frac{3}{4}$$; 2) $$-3$$.