Упр.29.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.13. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (c_n), если (c_3)(c_5)=20 и c_2+c_4=12v5.

Пусть $$c_n=c_1q^{n-1}$$ — геометрическая прогрессия.

Тогда

$$c_3=c_1q^2,\qquad c_5=c_1q^4,$$

и из условия

$$c_3c_5=20$$

получаем

$$c_1^2q^6=20.$$

Кроме того,

$$c_2+c_4=c_1q+c_1q^3=c_1q(1+q^2)=12\sqrt5.$$

Обозначим $$c_2=x$$, тогда $$c_4=xq^2$$, и из

$$c_3c_5=(c_1q^2)(c_1q^4)=(c_1q^3)^2=c_4^2=20$$

получаем

$$c_4=2\sqrt5.$$

Тогда из второго условия

$$c_2+2\sqrt5=12\sqrt5,$$

откуда

$$c_2=10\sqrt5.$$

Найдём знаменатель прогрессии:

$$q^2=\frac{c_4}{c_2}=\frac{2\sqrt5}{10\sqrt5}=\frac15,$$

значит

$$q=\pm\frac1{\sqrt5}.$$

Теперь найдём первый член:

$$c_1=\frac{c_2}{q}=10\sqrt5\cdot(\pm\sqrt5)=\pm 50.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует при $$|q|<1$$ и равна

$$S_\infty=\frac{c_1}{1-q}.$$

При $$q=\frac1{\sqrt5}$$ и $$c_1=50$$:

$$S_\infty=\frac{50}{1-\frac1{\sqrt5}}=\frac{25(\sqrt5+5)}{2}.$$

При $$q=-\frac1{\sqrt5}$$ и $$c_1=-50$$:

$$S_\infty=\frac{-50}{1+\frac1{\sqrt5}}=\frac{25(\sqrt5-5)}{2}.$$

Ответ

$$\frac{25(\sqrt5-5)}{2};\ \frac{25(\sqrt5+5)}{2}$$