Упр.29.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.12. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (b_n), если (b_2)(b_4)=36 и b_3+b_5=8.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$

Из условия имеем:

$$b_2b_4=36,\qquad b_3+b_5=8.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1q\cdot b_1q^3=b_1^2q^4=36,$$

$$b_1q^2+b_1q^4=b_1q^2(1+q^2)=8.$$

Обозначим $$b_3=b_1q^2$$. Тогда из первого условия:

$$b_2b_4=(b_1q)(b_1q^3)=(b_1q^2)^2=b_3^2=36,$$

значит

$$b_3=6$$

так как сумма бесконечной геометрической прогрессии существует только при $$|q|<1$$, а тогда члены прогрессии одного знака и здесь $$b_3>0$$.

Из второго условия:

$$b_3+b_5=8,$$

$$6+b_5=8,$$

$$b_5=2.$$

Теперь найдём $$q^2$$:

$$q^2=\frac{b_5}{b_3}=\frac{2}{6}=\frac13,$$

откуда

$$q=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{6}{1/3}=18.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}.$$

При $$q=\frac{1}{\sqrt3}$$:

$$S_\infty=\frac{18}{1-\frac{1}{\sqrt3}}=27+9\sqrt3.$$

При $$q=-\frac{1}{\sqrt3}$$:

$$S_\infty=\frac{18}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=27-9\sqrt3.$$

Ответ

$$27-9\sqrt3,\; 27+9\sqrt3$$