Упр.29.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.11. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 256, а сумма трёх её первых членов равна 252. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=256.$$

Тогда

$$b_1=256(1-q).$$

Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии:

$$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}=252.$$

Подставим найденное выражение для $$b_1$$:

$$252=\frac{256(1-q)(q^3-1)}{q-1}.$$

Так как $$1-q=-(q-1)$$, получаем:

$$252=256(1-q^3).$$

Тогда

$$1-q^3=\frac{252}{256}=\frac{63}{64},$$

откуда

$$q^3=\frac{1}{64}, \qquad q=\frac{1}{4}.$$

Найдём первый член:

$$b_1=256\left(1-\frac{1}{4}\right)=256\cdot\frac{3}{4}=192.$$

Ответ

$$b_1=192,\quad q=\frac{1}{4}.$$