Упр.29.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$2$$, а сумма четырех её первых членов равна $$1\frac{7}{8}$$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

Так как $$S=2$$, то

$$2=\frac{b_1}{1-q}, \qquad b_1=2(1-q).$$

Сумма первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}.$$

По условию $$S_4=1\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$$, значит

$$\frac{15}{8}=\frac{2(1-q)(1-q^4)}{1-q}=2(1-q^4).$$

Тогда

$$2(1-q^4)=\frac{15}{8},$$

$$1-q^4=\frac{15}{16},$$

$$q^4=\frac{1}{16}.$$

Отсюда

$$q=\pm \frac{1}{2}.$$

Найдём соответствующие значения $$b_1$$:

если $$q=\frac{1}{2}$$, то

$$b_1=2\left(1-\frac{1}{2}\right)=1;$$

если $$q=-\frac{1}{2}$$, то

$$b_1=2\left(1+\frac{1}{2}\right)=3.$$

Оба варианта подходят.

Ответ

$$b_1=1,\ q=\frac{1}{2}$$ или $$b_1=3,\ q=-\frac{1}{2}$$.