Упр.29.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) v2, -1, 1/v2, …; 2) (v3+1)/(v3-1), 1, (v3-1)/(v3+1), … .

Для бесконечной геометрической прогрессии сумма существует, если $$|q|<1$$, и находится по формуле

$$S=\frac{b_1}{1-q},$$

где $$b_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — знаменатель прогрессии.

1. $$\sqrt{2},\ -1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\sqrt{2}}{1- \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$S=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=2(\sqrt{2}-1).$$

2. $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1},\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$S=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}.$$

   Так как

   $$ (\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2, $$

   получаем

   $$S=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2(\sqrt{3}-1)}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$S=\frac{(4+2\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{2\bigl((\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)\bigr)}=\frac{(4+2\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{4}.$$

   Раскроем скобки:

   $$S=\frac{4\sqrt{3}+4+6+2\sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}+10}{4}=\frac{3\sqrt{3}+5}{2}.$$

Ответ

1) $$2(\sqrt{2}-1);$$ 2) $$\frac{3\sqrt{3}+5}{2}.$$