Упр.28.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 28.19. Найдите произведение 100 первых членов геометрической прогрессии (b_n), если b_1+b_2+…+b_100=A, 1/b_1+1/b_2+…+1/b_100=B.

Обозначим искомое произведение через $$D=b_1b_2b_3\cdots b_{100}.$$

Для геометрической прогрессии верно:

$$b_k\cdot b_{n-k+1}=b_1\cdot b_n.$$

Тогда для 100 членов:

$$b_1b_{100}=b_2b_{99}=\cdots=b_{50}b_{51}.$$

Перемножим эти 50 равенств:

$$D=(b_1b_{100})(b_2b_{99})\cdots(b_{50}b_{51})=(b_1b_{100})^{50}.$$

Теперь найдём $$b_1b_{100}.$$ По формуле суммы членов геометрической прогрессии, записанной через крайние члены, имеем:

$$b_1+b_2+\cdots+b_{100}=b_1b_{100}\left(\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\cdots+\frac1{b_{100}}\right).$$

По условию это значит, что

$$A=b_1b_{100}\cdot B,$$

откуда

$$b_1b_{100}=\frac{A}{B}.$$

Подставим в выражение для $$D$$:

$$D=\left(\frac{A}{B}\right)^{50}.$$

Ответ

$$\left(\frac{A}{B}\right)^{50}$$