Упр.28.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

S_n=(a_1)(a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n).

Пусть $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ — члены геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$. Тогда

$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Рассмотрим обратную последовательность:

$$\frac1{a_1},\ \frac1{a_2},\ \ldots,\ \frac1{a_n}.$$

Она тоже является геометрической прогрессией, её знаменатель равен

$$q^{-1}.$$

Сумма её первых $$n$$ членов:

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}=\frac{q^{-n}-1}{a_1(q^{-1}-1)}.$$

Умножим это равенство на $$a_1a_n$$. Так как $$a_n=a_1q^{n-1},$$ получаем

$$a_1a_n\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}\right)=a_1a_n\cdot \frac{q^{-n}-1}{a_1(q^{-1}-1)}.$$

Подставим $$a_n=a_1q^{n-1}$$:

$$a_1a_n\cdot \frac{q^{-n}-1}{a_1(q^{-1}-1)}=a_1q^{n-1}\cdot \frac{q^{-n}-1}{q^{-1}-1}.$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{q^{-n}-1}{q^{-1}-1}=\frac{1-q^n}{q^{n-1}(1-q)}=\frac{q^n-1}{q^{n-1}(q-1)}.$$

Тогда

$$a_1q^{n-1}\cdot \frac{q^n-1}{q^{n-1}(q-1)}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=S_n.$$

Следовательно,

$$S_n=a_1a_n\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}\right).$$

Ответ

$$S_n=a_1a_n\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}\right).$$