Упр.28.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой $$q=3$$, последний член $$c_n=162$$, а сумма всех членов $$S_n=242$$.

Для конечной геометрической прогрессии имеем:

$$c_n=c_1q^{n-1}$$

Подставим данные:

$$162=c_1\cdot 3^{n-1}$$

Отсюда

$$c_1=\frac{162}{3^{n-1}}=\frac{486}{3^n}.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{c_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Подставим $$q=3$$, $$S_n=242$$ и найденное выражение для $$c_1$$:

$$242=\frac{486}{3^n}\cdot \frac{3^n-1}{3-1}$$

$$242=\frac{486(3^n-1)}{2\cdot 3^n}$$

$$121=\frac{243(3^n-1)}{3^n}$$

$$121\cdot 3^n=243(3^n-1)$$

$$121\cdot 3^n=243\cdot 3^n-243$$

$$122\cdot 3^n=243$$

$$3^n=243$$

$$3^n=3^5,$$

значит, $$n=5$$.

Ответ

$$5$$