Упр.28.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 28.16. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой q=-1/2, первый член b_1=256, а сумма всех членов S_n=170.

Используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Подставим данные:

$$170=\frac{256\left(\left(-\frac12\right)^n-1\right)}{-\frac12-1}.$$

Так как

$$-\frac12-1=-\frac32,$$

получаем

$$170=\frac{256\left(\left(-\frac12\right)^n-1\right)}{-\frac32}.$$

Умножим обе части на $$-\frac32$$:

$$170\cdot\left(-\frac32\right)=256\left(\left(-\frac12\right)^n-1\right).$$

$$-255=256\left(\left(-\frac12\right)^n-1\right).$$

Разделим на $$256$$:

$$-\frac{255}{256}=\left(-\frac12\right)^n-1.$$

Тогда

$$\left(-\frac12\right)^n=\frac1{256}.$$

Так как

$$\frac1{256}=\left(\frac12\right)^8,$$

то

$$n=8.$$

Ответ

8