Упр.28.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 28.15. Найдите сумму (2+1/2)^2+(4+1/4)^2+…+(2^n+1/2^n)^2.

Обозначим искомую сумму через $$S$$:

$$ S=\left(2+\frac12\right)^2+\left(4+\frac14\right)^2+\cdots+\left(2^n+\frac1{2^n}\right)^2. $$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$$ \left(2^k+\frac1{2^k}\right)^2=2^{2k}+2+\frac1{2^{2k}}=4^k+2+\frac1{4^k}. $$

Тогда

$$ S=\sum_{k=1}^{n}\left(4^k+2+\frac1{4^k}\right) =2n+\sum_{k=1}^{n}4^k+\sum_{k=1}^{n}\frac1{4^k}. $$

Вычислим суммы геометрических прогрессий:

$$ \sum_{k=1}^{n}4^k=\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{4(4^n-1)}{3}, $$

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac1{4^k} =\frac{\frac14\left(\left(\frac14\right)^n-1\right)}{\frac14-1} =\frac{1-4^{-n}}{3} =\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}. $$

Подставим:

$$ S=2n+\frac{4(4^n-1)}{3}+\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}. $$

Приведём к общему виду:

$$ S=2n+\frac{(4^n-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^n}. $$

Ответ

$$2n+\frac{(4^n-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^n}$$