Упр.28.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму $$\left(2+\frac{1}{2}\right)^2+\left(4+\frac{1}{4}\right)^2+\ldots+\left(2^n+\frac{1}{2^n}\right)^2$$.

Обозначим искомую сумму через $$S$$:

$$S=\left(2+\frac12\right)^2+\left(4+\frac14\right)^2+\cdots+\left(2^n+\frac1{2^n}\right)^2.$$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$$\left(2^k+\frac1{2^k}\right)^2=2^{2k}+2+\frac1{2^{2k}}=4^k+2+\frac1{4^k}.$$

Тогда

$$S=\sum_{k=1}^{n}\left(4^k+2+\frac1{4^k}\right) =2n+\sum_{k=1}^{n}4^k+\sum_{k=1}^{n}\frac1{4^k}.$$

Вычислим суммы геометрических прогрессий:

$$\sum_{k=1}^{n}4^k=\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{4(4^n-1)}{3},$$

$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{4^k} =\frac{\frac14\left(\left(\frac14\right)^n-1\right)}{\frac14-1} =\frac{1-4^{-n}}{3} =\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}.$$

Подставим:

$$S=2n+\frac{4(4^n-1)}{3}+\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}.$$

Приведём к общему виду:

$$S=2n+\frac{(4^n-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^n}.$$

Ответ

$$2n+\frac{(4^n-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^n}$$