Упр.28.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$ выполняется равенство $$b_2+b_4+b_6+\ldots+b_{2n}=\frac{q}{1+q}S_{2n}.$$

Обозначим

$$T=b_2+b_4+b_6+\dots+b_{2n}.$$

Так как $$(b_n)$$ — геометрическая прогрессия, то

$$b_{2k}=b_1q^{2k-1}, \qquad b_{2k-1}=b_1q^{2k-2}.$$

Тогда

$$qT=b_2q+b_4q+b_6q+\dots+b_{2n}q=b_3+b_5+b_7+\dots+b_{2n+1}.$$

Сложим $$T$$ и $$qT$$:

$$(1+q)T=(b_2+b_4+\dots+b_{2n})+(b_3+b_5+\dots+b_{2n+1}).$$

Правая часть — это сумма всех членов геометрической прогрессии от $$b_2$$ до $$b_{2n+1}$$, то есть

$$(1+q)T=qS_{2n},$$

откуда

$$T=\frac{q}{1+q}S_{2n}.$$

Следовательно,

$$b_2+b_4+b_6+\dots+b_{2n}=\frac{q}{1+q}S_{2n}.$$

Ответ

$$b_2+b_4+b_6+\dots+b_{2n}=\frac{q}{1+q}S_{2n}.$$