Упр.28.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 28.14. Докажите, что для членов геометрической прогрессии (b_n) выполняется равенство b_2+b_4+b_6+…+b_(2n)=(q/(1+q))S_(2n).

Обозначим

$$T=b_2+b_4+b_6+\dots+b_{2n}.$$

Так как $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, то

$$b_{2k}=b_1q^{2k-1}, \qquad b_{2k-1}=b_1q^{2k-2}.$$

Тогда

$$qT=b_2q+b_4q+b_6q+\dots+b_{2n}q=b_3+b_5+b_7+\dots+b_{2n+1}.$$

Сложим $T$ и $qT$:

$$ (1+q)T=(b_2+b_4+\dots+b_{2n})+(b_3+b_5+\dots+b_{2n+1}). $$

Правая часть — это сумма всех членов геометрической прогрессии от $b_2$ до $b_{2n+1}$, то есть

$$ (1+q)T=qS_{2n}, $$

откуда

$$ T=\frac{q}{1+q}S_{2n}. $$

Следовательно,

$$b_2+b_4+b_6+\dots+b_{2n}=\frac{q}{1+q}S_{2n}.$$

Ответ

$$b_2+b_4+b_6+\dots+b_{2n}=\frac{q}{1+q}S_{2n}.$$