Упр.27.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите четыре числа, образующие арифметическую прогрессию и обладающие таким свойством: если из второго числа вычесть 2, а к четвёртому прибавить 14, то будет получена геометрическая прогрессия.

Пусть искомые числа образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4.$$

Тогда для арифметической прогрессии выполняется:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \qquad a_3=\frac{a_2+a_4}{2}.$$

Отсюда

$$a_1=2a_2-a_3, \qquad a_4=2a_3-a_2.$$

После указанных изменений получаем геометрическую прогрессию:

$$b_1=a_1=2a_2-a_3,\qquad b_2=a_2-2,\qquad b_3=a_3,\qquad b_4=a_4+14=2a_3-a_2+14.$$

Для геометрической прогрессии произведения соседних членов равны:

$$b_2^2=b_1b_3,\qquad b_3^2=b_2b_4.$$

Из первого равенства:

$$(a_2-2)^2=(6-a_2)(3a_2-6)$$

так как из второго равенства далее получаем

$$a_3=3a_2-6,\qquad a_1=6-a_2,\qquad a_4=5a_2-12.$$

Решим уравнение:

$$a_2^2-4a_2+4=18a_2-36-3a_2^2+6a_2$$

$$4a_2^2-28a_2+40=0$$

$$a_2^2-7a_2+10=0$$

$$(a_2-2)(a_2-5)=0$$

Следовательно,

$$a_2=2 \quad \text{или} \quad a_2=5.$$

Если $$a_2=2,$$ то $$b_2=a_2-2=0,$$ а геометрическая прогрессия с нулевым вторым членом здесь не подходит. Поэтому берём $$a_2=5.$$

Тогда

$$a_1=6-5=1,\qquad a_3=3\cdot 5-6=9,\qquad a_4=5\cdot 5-12=13.$$

Ответ

$$1,\ 5,\ 9,\ 13.$$